On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0 = 3/2 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= (2u_n)/(1+u_n) `

Montrer par récurrence que `( forall n in N ) : u_n > 1 `

Pour tout tout ` n in N ` on pose ` P(n) : u_n > 1 `

Initialisation

Pour ` n = 0 ` on a ` u_0 = 3/2 `

Puisque ` 3/2 > 1 ` alors ` u_0 > 1 `

`=> P(0) ` est vraie

Hérédité

soit ` n in N ` fixe on suppose ` P(n) : u_n > 1 `

Montrons `P(n+1) : u_(n+1) > 1 `

on a ` u_(n+1) -1 = (2u_n)/(1+u_n) -1 `

` = (2u_n -u_n -1)/(u_n+1) `

` = ( u_n -1)/(u_n+1) `

selon l'hypothèse de récurrence on a ` u_n > 1 ` alors ` u_n -1 > 0 ` et `u_n+1 > 0 `

`=> ( u_n -1)/(u_n+1) > 0 `

`=> u_(n+1) -1 > 0 `

`=> u_(n+1) > 1 `

`=> P(n+1)` est vraie

Conclusion

selon le principe de la récurrence on déduit que ` ( forall n in N ) : u_n > 1 `